Παιδίον Τόπος: Fractals

Τρίτη 31 Μαΐου 2011

Fractals

Τα fractals είναι μαθηματικά αντικείμενα που έχουν την ιδιότητα να επαναλαμβάνονται καθώς τα μεγεθύνουμε. Πρόκειται για σχήματα που έχουν την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας. Δηλαδή, όσο κι αν προσπαθούμε να μπούμε στο εσωτερικό τους και να απομονώσουμε ένα τμήμα τους, το τμήμα αυτό θα παρουσιάζει την ίδια μορφή.

Η έννοια της αυτο-ομοιότητας περιγράφηκε πολύ εύστοχα από τον Cristopher Alexander (1965) με το παράδειγμα με τους ψύλλους:
Σε μια ομάδα μεγάλων ψύλλων, ο κάθε ψύλλος κουβαλάει στην πλάτη του μια ομάδα μικρότερων ψύλλων, που τους τσιμπάνε. Καθένας από τους μικρότερους ψύλλους κουβαλάει στην πλάτη του ια ομάδα ακόμα μικρότερων ψύλλων, που τους τσιμπάνε και αυτό συνεχίζεται επ' άπειρον...

Ας δούμε όμως δύο παραδείγματα κατασκευής fractal:
1. Το τρίγωνο του Sierpinski

Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Παίρνουμε το μέσο κάθε πλευράς.

Σχηματίζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο και αφαιρούμε το κεντρικό κομμάτι.

Κάνουμε την ίδια διαδικασία για καθένα από τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα που σχηματίζονται γύρω, και ούτω καθεξής.

Παρατηρούμε ότι σε κάθε τρίγωνο που εστιάζουμε το βλέμμα μας εμφανίζεται σε μικρογραφία το αρχικό σχήμα.

http://youtu.be/TLxQOTJGt8c

2. Η νιφάδα του Koch

Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Χωρίζουμε την πλευρά του σε τρία ίσα μέρη και αφαιρούμε το μεσαίο.

Συμπληρώνουμε το κενό ενώνοντας δύο ίσα τμήματα εξωτερικά του τριγώνου.

Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για καθένα καινούργιο ευθύγραμμο τμήμα που προκύπτει.

Στη φύση συναντούμε καθημερινά fractals, δηλαδή αντικείμενα που ενώ φαίνεται να έχουν χαοτική συμπεριφορά παρουσιάζουν αυτοομοιότητα. Τέτοια παραδείγματα είναι οι ακτές, τα σύννεφα, ένα σφογγάρι, ένας βράχος, οι φλέβες και πολλά άλλα. Τα fractals έχουν εφαρμογή σε πολλές επιστήμες, όπως η βιολογία, η γεωλογία, τα μαθηματικά, η ιατρική, η αστρονομία, η οικονομική επιστήμη.

Τα fractals ξεκίνησαν να παρατηρούνται γύρω στα 1850. Ωστόσο, ο όρος fractal προτάθηκε το 1975 από τον Benoit Mandelbrot, ο οποίος θεωρείται "ο πατέρας των fractal". Ο όρος προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

Ο Mandelbrot γεννήθηκε το 1924 στην Πολωνία. Ήταν Εβραίος με καταγωγή από τη Λιθουανία. Μεγάλωσε και σπούδασε στη Γαλλία. Ήταν διάσημος μαθηματικός και εργάστηκε στο ερευνητικό κέντρο της IBM στη Νέα Υόρκη για 35 χρόνια. Συνέχισε την καριέρα του ως καθηγητής στο πανεπιστήμιο Γέιλ και την ολοκλήρωσε στην έδρα Στέρλινγκ. Πέθανε στις 14 Οκτωβρίου 2010. Άφησε πίσω του σπουδαίο έργο στη θεωρία του χάους και των fractals.